Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线．
（2）若CD=6，tan∠BCD=

1

2

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）由EB与CD平行，且CD垂直AB于AB，利用与平行线中一条垂直，与另一条也垂直得到EB与AB垂直，即可确定出EB为圆O的切线；
（2）由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到M为CD中点，求出CM的长，在直角三角形BCM中，由tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义求出BM的长，利用直径所对的圆周角为直角，以及同角的余角相等得到∠BCD=∠CAB，利用CM与tan∠CAB的值，求出AM的长，由BM+AM即可求出AB的长．

解答：解：（1）∵CD⊥AB，BE∥CD，
∴EB⊥AB，
∵AB为圆的直径，
∴BE为圆O的切线；

（2）∵AB⊥CD，
∴M为CD中点，即CM=DM=

1

2

CD=3，
在Rt△BCM中，tan∠BCD=

BM

CM

，即BM=3×

1

2

=

3

2

，
∵AB为圆O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∴tan∠CAB=tan∠BCD=

1

2

，
∴

CM

AM

=

1

2

，即AM=2CM=6，
则AB=AM+BM=6+

3

2

=

15

2

．

点评：此题考查了切线的判定，垂径定理，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．