题目内容
【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,求BN的长;
(2)如图2,在△ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点;
(3)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使点C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画一种情形即可);
(4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,△AMC,△MND和△NBE均为等边三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN的中点,试探究,和的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)BN=或;(2);(3);(4).
【解析】
试题分析:(1)①当MN为最大线段时,由勾股定理求出BN;②当BN为最大线段时,由勾股定理求出BN即可;
(2)先得出点M、N分别是AD、AE的中点,得出BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,求出,得出,即可得出结论;
(3)在AB上截取CE=CA;作AE点垂直平分线,截取CF=CA;作BF的垂直平分线,交AB于D即可;
(4)先证明△DGH≌△NEH,得出DG=EN=b,MG=c﹣b,再证明△AGM∽△AEN,得出比例式,得出,证出,得出a=b,证出△DGH≌△CAF,得出,证出,即可得出结论.
试题解析:(1)①当MN为最大线段时,∵点 M、N是线段AB的勾股分割点,∴BN===;
②当BN为最大线段时,∵点M、N是线段AB的勾股分割点,∴BN===;
综上所述:BN=或;
(2)∵FG是△ABC的中位线,∴FG∥BC,∴=1,∴点M、N分别是AD、AE的中点,∴BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,∵点D、E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,∴,∴,∴,∴点M、N是线段FG的勾股分割点;
(3)作法:①在AB上截取CE=CA;
②作AE点垂直平分线,并截取CF=CA;
③连接BF,并作BF的垂直平分线,交AB于D;
点D即为所求;如图所示:
(4).理由如下:
设AM=a,BN=b,MN=c,∵H是DN的中点,∴DH=HN=,∵△MND、△BNE均为等边三角形,∴∠D=∠DNE=60°,在△DGH和△NEH中,∵∠D=∠DNE,DH=HN,∠DHG=∠NHE,∴△DGH≌△NEH(ASA),∴DG=EN=b,∴MG=c﹣b,∵GM∥EN,∴△AGM∽△AEN,∴,∴,∵点 M、N是线段AB的勾股分割点,∴,∴,又∵,∴a=b,在△DGH和△CAF中,∵∠D=∠C,DG=CA,∠DGH=∠CAF,∴△DGH≌△CAF(ASA),∴,∵,∴,∴,∵,,∴.