题目内容

【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.

(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,求BN的长;

(2)如图2,在ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点;

(3)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使点C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画一种情形即可);

(4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,AMC,MND和NBE均为等边三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN的中点,试探究的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)BN=;(2);(3);(4).

【解析】

试题分析:(1)当MN为最大线段时,由勾股定理求出BN;当BN为最大线段时,由勾股定理求出BN即可;

(2)先得出点M、N分别是AD、AE的中点,得出BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,求出,得出,即可得出结论;

(3)在AB上截取CE=CA;作AE点垂直平分线,截取CF=CA;作BF的垂直平分线,交AB于D即可;

(4)先证明DGH≌△NEH,得出DG=EN=b,MG=c﹣b,再证明AGM∽△AEN,得出比例式,得出,证出,得出a=b,证出DGH≌△CAF,得出,证出,即可得出结论.

试题解析:(1)当MN为最大线段时, M、N是线段AB的勾股分割点,BN===

当BN为最大线段时,点M、N是线段AB的勾股分割点,BN===

综上所述:BN=

(2)FG是ABC的中位线,FGBC,=1,点M、N分别是AD、AE的中点,BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,点D、E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,点M、N是线段FG的勾股分割点;

(3)作法:在AB上截取CE=CA;

作AE点垂直平分线,并截取CF=CA;

连接BF,并作BF的垂直平分线,交AB于D;

点D即为所求;如图所示:

(4).理由如下:

设AM=a,BN=b,MN=c,H是DN的中点,DH=HN=∵△MND、BNE均为等边三角形,∴∠D=DNE=60°,在DGH和NEH中,∵∠D=DNE,DH=HN,DHG=NHE,∴△DGH≌△NEH(ASA),DG=EN=b,MG=c﹣b,GMEN,∴△AGM∽△AEN, M、N是线段AB的勾股分割点,,又a=b,在DGH和CAF中,∵∠D=C,DG=CA,DGH=CAF,∴△DGH≌△CAF(ASA),

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