Question

【题目】综合题
（1）利用因式分解证明:257-512能被250整除.
（2）233-2被11至20之间的两个数整除,求这两个数.

Answer 1

【答案】
（1）证明:∵257-512=(52)7-(56)2
=(57)2-(56)2
=(57+56)×(57-56)
=(57+56)×62 500
=(57+56)×2502,
∴257-512能被250整除.
（2）解:233-2=2×(232-1)
=2×(216+1)×(216-1)
=2×(216+1)×(28+1)×(28-1)
=2×(216+1)×(28+1)×(24+1)×(24-1)
=2×(216+1)×(28+1)×17×15.
∴这两个数分别是17,15.
【解析】（1）先将257化成底数是5的幂，再根据平方差公式分解因数，得出(57+56)×(57-56)，然后利用提取公因数将原数转化为(57+56)×2502,即可证得结论。
（2）先提取公因数得到2×(232-1)，再利用平方差公式分解因数，将原数转化为2×(216+1)×(28+1)×(24+1)×(24-1)，然后计算得到2×(216+1)×(28+1)×17×15，即可证得结论。