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【题目】九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).

时间x(天)

1

30

60

90

每天销售量p(件)

198

140

80

20


(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.

【答案】
(1)解:当1≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0),

∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),

,解得:

∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;

当50≤x≤90时,y=90.

∴售价y与时间x的函数关系式为y=

由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,

设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m≠0),

∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140),

,解得:

∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),

当1≤x≤50时,w=(y﹣30)p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;

当50≤x≤90时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.

综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=


(2)解:当1≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,

∵a=﹣2<0且1≤x≤50,

∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.

当50≤x≤90时,w=﹣120x+12000,

∵k=﹣120<0,w随x增大而减小,

∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.

∵6050>6000,

∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.

即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元


(3)解:当1≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,

解得:30≤x≤50,

50﹣30+1=21(天);

当50≤x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,

解得:50≤x≤53

∵x为整数,

∴50≤x≤53,

53﹣50+1=4(天).

综上可知:21+4﹣1=24(天),

故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元


【解析】(1)当1≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50≤x≤90时,y=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式;(2)根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当1≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值;当50≤x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;(3)令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.

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