Question

【题目】(2016湖南省邵阳市第26题)已知抛物线y=ax2﹣4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．

①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣；(2)、①、（3，）；②、（，﹣）或（﹣，﹣）时，|m|+|n|的最大值为．

【解析】

试题分析：(1)、先求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，根据∠PBA=120°，PB=AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函数解析式即；(2)、①过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，分别用含m的式子表示点D、M的坐标，然后代入△APM的面积公式DMAC，根据题意列出方程求出m的值；②根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当﹣2≤m≤0时，|m|=﹣m；当0＜m≤2时，|m|=m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值．

试题解析：(1)、如图1，令y=0代入y=ax2﹣4a， ∴0=ax2﹣4a， ∵a＞0， ∴x2﹣4=0，

∴x=±2， ∴A（﹣2，0），B（2，0）， ∴AB=4， 过点P作PC⊥x轴于点C， ∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，

∵PB=AB=4， ∴cos∠PBC=， ∴BC=2， 由勾股定理可求得：PC=2， ∵OC=OC+BC=4，

∴P（4，2）， 把P（4，2）代入y=ax2﹣4a， ∴2=16a﹣4a， ∴a=，

∴抛物线解析式为；y=x2﹣；

（2）∵点M在抛物线上， ∴n=m2﹣， ∴M的坐标为（m， m2﹣），

①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时， ∴2≤m≤4，

如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D， 设直线AP的解析式为y=kx+b，

把A（﹣2，0）与P（4，2）代入y=kx+b，得：， 解得

∴直线AP的解析式为：y=x+， 令x=m代入y=x+， ∴y=m+，

∴D的坐标为（m， m+）， ∴DM=（m+）﹣（m2﹣）=﹣m2+m+，

∴S△APM=DMAE+DMCE=DM（AE+CE）=DMAC=﹣m2+m+4

当S△APM=时，∴=﹣m2+m+4， ∴解得m=3或m=﹣1， ∵2≤m≤4，

∴m=3， 此时，M的坐标为（3，）；

②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时， ∴﹣2≤m≤2，n＜0，

当﹣2≤m≤0时， ∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，

当m=﹣时， ∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为，

此时，M的坐标为（﹣，﹣）， 当0＜m≤2时，

∴|m|+|n|=m﹣n=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，

当m=时， ∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为， 此时，M的坐标为（，﹣），

综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）时，|m|+|n|的最大值为．