Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=1，AB=2

2

，半圆O的直径在AB上，且与AC、BC都相切，切点分别为D、E，则半圆O的半径为（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：首先连接OD，OC，由半圆O的直径在AB上，且与AC、BC都相切，根据切线长定理，可得∠OCA=∠OCB，根据切线的性质，可得OD⊥AC，又由在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=1，AB=2

2

，即可得△ABC，△AOD是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答：解：连接OD，OC，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=1，
∴∠A=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵半圆O与AC、BC都相切，
∴∠OCA=∠OCB，OD⊥AC，
∴OA=OB=

1

2

AB=

1

2

×2

2

=

2

，
在Rt△AOD中，OD=OA•sin∠A=

2

×

2

2

=1．
即半圆O的半径为1．
故选A．

点评：此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、切线的性质以及三角形函数的知识．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．