题目内容

已知反比例函数y= $数学公式$ 和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式？
（2）已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？
（3）利用②的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？

解：（1）∵一次函数y=2x-1的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
代入得： $\text{[math]}$ ，
解得：k=2，
代入反比例函数的解析式得：y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴反比例函数的解析式是y= $\text{[math]}$ ．

（2）解方程组 $\text{[math]}$
得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴两函数的交点坐标是（- $\text{[math]}$ ，-2），（1，1），
∵交点A在第一象限，
∴A（1，1）．

（3）在x轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，
理由是：分为三种情况：①以O为圆心，以OA为半径作圆，交x轴于两点C、D，此时OA=0C=0D，
∴当P于C或D重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0），（- $\text{[math]}$ ，0）；
②以A为圆心，以OA为半径作圆，交x轴于两点E，此时OA=AE，
∴当P于E重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（2，0）；
③作OA的垂直平分线交x轴于F，此时AF=OF，
∴当P于F重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（1，0）；
∴存在4个点P，使△AOP是等腰三角形．
分析：（1）把（a，b），（a+k，b+k+2）代入一次函数的解析式，得出方程组，求出k即可；
（2）解由反比例函数和一次函数的解析式组成发的方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据等腰三角形的判定，有三种情况：①当OA=OP时，有2个点符合；②当OA=AP时，有1个点符合；③当AP=OP时，有1个点符合．
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的判定等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，用的数学思想是分类讨论思想，题目比较好，有一定的难度．