题目内容

【题目】如图,点在平行四边形的对角线上,过点分别作的平行线相交于点,连接

1)求证:四边形是菱形;

2)若,求的长.

【答案】1)见解析 2+3

【解析】

1)由外角的性质可得∠AFB=FBC+FCB,又因为∠ABF=FBC+FCB,易得AB=AF,由菱形的判定定理可得结论;

2)作DHAC于点H,由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°,由平行线的性质可得∠2=CBE=30°,利用锐角三角函数可得AHDH,由菱形的性质和勾股定理得CH,得AC

(1)证明:∵EFAB,BEAF

∴四边形ABEF是平行四边形。

∵∠ABF=FBC+FCB,∠AFB=FBC+FCB

∴∠ABF=AFB

AB=AF

ABEF是菱形;

(2)DHAC于点H

sinCBE=

∴∠CBE=30

BEAC

∴∠1=CBE

ADBC

∴∠2=1

∴∠2=CBE=30

RtADH中,AH==

DH=2=4

∵四边形ABEF是菱形,

CD=AB=BE=5

RtCDH,CH=

AC=AH+CH=+3.

故答案为:+3.

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