题目内容
【题目】如图,点在平行四边形的对角线上,过点、分别作、的平行线相交于点,连接,.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,,求的长.
【答案】(1)见解析 (2)+3
【解析】
(1)由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB,又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB,易得AB=AF,由菱形的判定定理可得结论;
(2)作DH⊥AC于点H,由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°,由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°,利用锐角三角函数可得AH,DH,由菱形的性质和勾股定理得CH,得AC.
(1)证明:∵EF∥AB,BE∥AF,
∴四边形ABEF是平行四边形。
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB,∠AFB=∠FBC+∠FCB,
∴∠ABF=∠AFB,
∴AB=AF,
∴ABEF是菱形;
(2)作DH⊥AC于点H,
∵sin∠CBE=,
∴∠CBE=30,
∵BE∥AC,
∴∠1=∠CBE,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠1,
∴∠2=∠CBE=30,
Rt△ADH中,AH== ,
DH=∠2=4,
∵四边形ABEF是菱形,
∴CD=AB=BE=5,
Rt△CDH中,CH=
∴AC=AH+CH=+3.
故答案为:+3.
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