Question

（2013•宜城市模拟）如图Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED=45°
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB=4，BE=

2

，求AD长及△ADE的面积；
（3）当BC=4，在BC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形？若存在，请求出EC的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠B=∠C，∠BAE=∠CED，即可推出△ABE∽△ECD；
（2）求出BC=4

2

，EC=3

2

，证△ABE∽△ECD，求出CD=

3

2

，求出AD=

5

2

，过点E作EF⊥AD与F，求出EF=3，根据三角形面积公式求出即可；
（3）存在存在点E，使得△ADE为等腰三角形，由勾股定理求出AC=AB=2

2

，分三种情况讨论：①当AE=AD时，②当AE=DE时，③当AD=DE时，根据相似和等腰三角形性质求出即可．

解答：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED，∠AED=45°，
∴∠BAE=∠CED，
∴△ABE∽△ECD；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，
∴BC=

2

AB=4

2

，
∵BE=

2

，
∴EC=3

2

，
∵△ABE∽△ECD，
∴

AB

EC

=

BE

CD

，
∴

4

3 2

=

2

CD

，

∴CD=

3

2

，
∴AD=AC-CD=

5

2

，
过点E作EF⊥AD与F，
则∠CFE=90°，
∴∠C=45°=∠FEC，
∴EF=CF，
∵CE=3

2

，
∴EF=3，
∴S_△AED=

1

2

×

5

2

×3=

15

4

．

（3）解：存在存在点E，使得△ADE为等腰三角形，
理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=AB=2

2

，
分三种情况讨论：①当AE=AD（此时E和B重合）时，EC=BC=4；
②当AE=DE时，
∵∠AED=45°，
∴∠AEB+∠DEC=135°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠CDE+∠DEC=135°，
∴∠CDE=∠AEB，
∵在△ABE和△ECD中

∠B=∠C ∠AEB=∠CDE AE=DE

∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=2

2

；
③当AD=DE时，
∵∠AED=45°，
∴∠DAE=∠AED=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAE=45°=∠DAE，
∵AB=AC，
∴CE=BE=

1

2

BC=2，
即在BC上存在点E，使得△ADE为等腰三角形，EC的长是4或2

2

或2．

点评：本题考查了等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的综合运用，题目比较好，但是有一定的难度．