Question

如图,在直角坐标系中,以x轴上一点P（1,0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点,连接CP,⊙P的半径为2.

（１）写出A、B、D三点坐标;
（2）求过A、B、D三点的抛物线的函数解析式,求出它的顶点坐标.
（3）若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M,交y轴于N,求直线MN的解析式

Answer 1

（1）A（﹣1,0）,B（3,0）,,D（0,﹣）;
（2）函数解析式为：,它的顶点坐标为：（1,）;
（3）直线MN的解析式是y=﹣x+．

试题分析：（1）求出OA、OB,根据勾股定理求出OC,根据垂径定理求出OD=OC,即可得出答案;
（2）根据A、B、D三点的坐标即可求出抛物线的函数解析式及它的顶点坐标;
（3）连接PQ,求出∠CPO,求出∠QPM,求出PM,得出M的坐标,求出MN=2ON,根据勾股定理求出ON,得出N的坐标,设直线MN的解析式是y=kx+b,把M、N的坐标代入求出即可．
试题解析：（1）∵P（1,0）,⊙P的半径是2,
∴OA=2﹣1=1,OB=2+1=3,
在Rt△COP中,PC=2,OP=1,由勾股定理得：OC=,
由垂径定理得：OD=OC=,
∴A（﹣1,0）,B（3,0）,C（0,）,D（0,﹣）;
（2）设函数解析式为
∵A（﹣1,0）,B（3,0）,D（0,﹣）
∴
解得：,
所以函数解析式为：,
,它的顶点坐标为：（1,）;
（3）连接PQ,

在Rt△COP中sin∠CPO=,
∴∠CPO=60°,
∵Q为弧BC的中点,
∴∠CPQ=∠BPQ=（180°﹣60°）=60°,
∵MN切⊙P于Q,
∴∠PQM=90°,
∴∠QMP=30°,
∵PQ=2,
∴PM=2PQ=4,
在Rt△MON中,MN=2ON,
∵MN²=ON²+OM²,
∴（2ON）²=ON²+（1+4）²,
∴ON=,
∴M（5,0）,N（0,）,
设直线MN的解析式是y=kx+b,
代入得：,
解得：k=﹣,b=,
∴直线MN的解析式是y=﹣x+．