Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若四边形AOED是平行四边形，求∠CAB的大小．

Answer 1

分析：（1）D点已经在圆周上，要证DE为切线，只需证明∠ODE=90°，而这一结论可根据三角形全等来证明，即△OBE≌△ODE，依据为边角边．
（2）在（1）的基础上，加上三角形中位线定理，以求出∠CAB=45°．

解答：（1）证明：连接OD；
∵AO=BO，BE=CE，
∴OE∥AC．
∴∠BOE=∠A，∠EOD=∠ODA．
又∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOD=∠EOB．
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△DOE≌△BOE，
∴∠ODE=∠B=90°．
即DE是⊙O的切线．

（2）解：由（1）得，OE∥AC，且OE=

1

2

AC；
∵四边形AOED为平行四边形，
∴OE=AD=CD，
∴四边形OECD为平行四边形，
∴∠C=∠DOE．
又∵∠A=∠DOE且∠B=90°，
∴∠A=∠C=45°．

点评：此题考查了切线的判定和平行四边形的判定及性质．