题目内容

如图,已知等边△ABC边长为1,D是△ABC外一点且∠BDC=120°,BD=CD,∠MDN=60°.
求证:△AMN的周长等于2.

解:延长AC到E,使CE=BM,连接DE,(如图)
∵BD=DC,∠BDC=120°,
∴∠CBD=∠BCD=30°,
∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°,
∴△BMD≌△CDE,
∴∠BDM=∠CDE,DM=DE,
又∵∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠NDC=60°,
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM,
又∵DN=DN,
∴△MDN≌△EDN(SAS),
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM,
所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.
分析:延长AC到E,使CE=BM,连接DE,求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE,进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM,即可计算△AMN周长,即可解题.
点评:本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质,等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质,本题中求证MN=NE=NC+CE=NC+BM是解题的关键.
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