Question

已知关于x的一元二次方程mx ²－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁、x₂(x₁＜x₂),若y是关于m的函数，且y=x₂－2x₁，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图像回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m.

Answer 1

（1）证明见解析（2）y=（3）m≥1

（1）证明：∵a=m,b=-(3m+2),c=2m+2
∴Δ=【－(3m+2)】²－4m(2m＋2)
=9m²+12m+4－8m²－8m
=m²+4m+4
=(m+2)²
又∵m>0
∴Δ=(m+2)²>0
∴ 此方程有两个不相等的实数根
（2）先由公式法可求得x=1或x=
∵x₁<x₂
∴x₁=1,x₂ =
∴y=x₂ -2x₁=－2=(m>0)
（3）在同一直角坐标系中分别画出函数y=(m>0)和y₁=2m的图像，由图像可得当m≥1时，y≤2m.图略.
本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法，m＞0是一个重要的条件．