题目内容
(本小题满分5分)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E,联结EB交OD于点F.

(1)求证:OD⊥BE;
(2)若DE=
,AB=5,求AE的长.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E,联结EB交OD于点F.

(1)求证:OD⊥BE;
(2)若DE=

解:(1)联结AD
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠AEB =90° --- 1分
∵AB=AC,∴CD=BD
∵OA=OB,∴OD//AC
∴OD⊥BE --------------------------------------- 2分
(2)方法一:∵∠CEB=∠AEB=90°,CD="BD,AB=5," DE=
∴AC="AB=5, " BC=2DE=2
, --------------------- 3分
在△ABE、△BCE中,∠CEB=∠AEB=90°,则有
设AE="x," 则
--------------------- 4分
解得:x="3 "
∴AE="3 " -------------------------- 5分
方法二:∵OD⊥BE,∴BD=DE,BF="EF " ------------------------3分
设AE=x,∴OF=
,在△OBF、△BDF中,∠OFB=∠BFD=90°
∴
∵DE=
,AB=5, ∴
------4分
解得:x=3, ∴AE="3 " ------------5分
方法三:∵BE⊥AC AD⊥BC,
∴S△ABC=
BC·AD=
AC·BE, ----------------------------3分
∴BC·AD=AC·BE
∵BC=2DE=2
,AC=AB=5
∴BE="4" , ----------------------------------4分
∴AE="3 " ------------------------------5分
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠AEB =90° --- 1分
∵AB=AC,∴CD=BD
∵OA=OB,∴OD//AC
∴OD⊥BE --------------------------------------- 2分
(2)方法一:∵∠CEB=∠AEB=90°,CD="BD,AB=5," DE=

∴AC="AB=5, " BC=2DE=2

在△ABE、△BCE中,∠CEB=∠AEB=90°,则有

设AE="x," 则

解得:x="3 "
∴AE="3 " -------------------------- 5分
方法二:∵OD⊥BE,∴BD=DE,BF="EF " ------------------------3分
设AE=x,∴OF=

∴

∵DE=


解得:x=3, ∴AE="3 " ------------5分
方法三:∵BE⊥AC AD⊥BC,
∴S△ABC=


∴BC·AD=AC·BE
∵BC=2DE=2

∴BE="4" , ----------------------------------4分
∴AE="3 " ------------------------------5分
略

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