Question

【题目】 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作经过点C的直线CD的垂线，垂足为E（即BE⊥CD），BE交⊙O于点F，且BC平分∠ABE．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若AB=10，CE=4，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=2．

【解析】

（1）连接OC，证CD⊥OC即可，因为BE⊥CD，所以只要证OC∥BE即可，而根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB=∠EBC，则OC∥BE；（2）连接AC,则△ABC∽△CBE,设AC=x，，由勾股定理可得，由图知AC＜BC，所以，BC=，BE=8，由切割线定理可求出EF．

解：（1）连接OC．∵OC=OB，

∴∠ABC=∠OCB，

又∵∠EBC=∠ABC，

∴∠OCB=∠EBC，

∴OC∥BE，

∵BE⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接AC,因为AB是直径，所以∠ACB＝90°

又BC平分∠ABE所以△ABC∽△CBE

设AC=x，所以，

由勾股定理可得，由图知AC＜BC,所以，BC=，BE=8

由切割线定理得：，所以，

所以EF=2．