题目内容

已知二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象与x轴分别交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且 $数学公式$ ＜x₁＜ $数学公式$ ．
（1）求k的取值范围；
（2）设二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积．

解：（1）令y=0，则x²-2（k+1）x+4k=0，即（x-2k）（x-2）=0，
解方程得：x=2k或x=2，则A（2k，0），B（2，0）．
由题意得， $\text{[math]}$ ，
故可得： $\text{[math]}$ ．

（2）∵OM=OB，B的坐标为：（2，0），
∴M点坐标为：（0，-2），
把点M的坐标分别代入y=x²-2（k+1）x+4k中，可得：4k=-2，
解得：k=- $\text{[math]}$ ，

故二次函数表达式为：y=x²-x-2．

（3）由（2）知k=- $\text{[math]}$ ，则A（-1，0）．
①如图1，当AM为边时，AN=MF，且AN∥MF．
由（2）知，二次函数表达式为：y=x²-x-2．
∵M点坐标为：（0，-2），
∴当y=-2时，-2=x²-x-2，解得x=1或x=0，
∴点F的坐标为（1，-2）或（0，-2）（与点M重合，舍去），
∴AN=MF=1，

此时S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
②如图2，当AM为对角线时，同理证得AN=MF=1，
此时S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
③如图3，当AM为边时，AE=EN，ME=FE．
设F（a，b），N（t，0），
则 $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
此时，S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2× $\text{[math]}$ +2=5+ $\text{[math]}$ ，或S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2× $\text{[math]}$ +2=5- $\text{[math]}$ ；
综上所述，符合条件的平行四边形的面积是：2， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令y=0，即可得到关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+4k=0，通过解方程可以求得x=2k或x=2，则由题意得到关于k的不等式 $\text{[math]}$ ，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）由已知条件易求M点坐标为（0，-2），所以，把点M的坐标代入抛物线解析式可以求得k的值；
（3）此题需要分类讨论：分以AM为边和以AM为对角线两种情况进行解答．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质以及二次函数图象的性质．解答（3）题时，一定要分类讨论，防止漏解或错解．另外，注意“数形结合”数学思想的应用．