Question

如图1，直线AB的解析式为y=kx-6，且分式

k-2

k-3

=0，以A点为顶点在第四象限做等腰直角三角形△ABC．

（1）求A点和C点的坐标．
（2）在第四象限是否存在一点P，使△PBA≌CAB？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，Q为y轴负半轴上一个动点，当Q点向y轴负半轴向下运动时，以Q为顶点，在第三象限作等腰直角三角形△ADQ，过D作DE⊥x轴于E点，下列两个结论：①OQ-DE的值不变，②OQ+DE的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，说出你的理由并求出其值．

Answer 1

分析：（1）求出k，分别把x=0和y=0代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，求出OA、OB值，证△OBA≌△EAC，推出CE=OA=3，AE=OB=6，即可求出C的坐标；
（2）过P作PQ⊥y轴于Q，证出△PQB≌△BOA，推出BQ=OA=3，PQ=OB=6，求出OQ=9，即可得出P的坐标；
（3）过D作DF⊥y轴于F，求出∠FDQ=∠FQA，根据AAS证△DFQ≌△AOQ，推出FQ=AO=3，推出四边形DEOF是矩形，得到DE=OF，即可求出OQ-DE=FQ=3，得出答案即可．

解答：（1）解：∵

k-2

k-3

=0，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴y=2x-6，
当x=0时，y=-6，
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，-6），
∴OA=3，OB=6，
过C作CE⊥x轴于E，
则∠AEC=90°=∠AOB，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠EAC=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAC，
∵∠AEC=∠AOB=90°，AB=AC，
∴△OBA≌△EAC，
∴CE=OA=3，AE=OB=6，
∴OE=3+6=9，
∴C（9，-3），
故A点和C点的坐标分别为：A（3，0），C（9，-3）．

（2）解：在第四象限内存在一点P，使△PBA≌CAB，
过P作PQ⊥y轴于Q，
∵与（1）中证明△OBA≌△EAC类似证出△PQB≌△BOA，
BQ=OA=3，PQ=OB=6，OQ=6+3=9，
∴P的坐标是（6，-9），
∴在第四象限内存在一点P，使△PBA≌CAB，P的坐标是（6，-9）．

（3）解：OQ-DE的值不变，
理由是：过D作DF⊥y轴于F，
∵∠DFQ=∠DQA=90°，
∴∠FDQ+∠FQD=90°，∠FQD+∠FQA=90°，
∴∠FDQ=∠FQA，
∵在△DFQ和△AOQ中

∠DFQ=∠AOQ ∠FDQ=∠AQO QA=DQ

，
∴△DFQ≌△AOQ，
∴FQ=AO=3，
∵∠EOF=∠DFQ=∠DEO=90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴DE=OF，
∴OQ-DE=FQ=3，
即OQ-DE的值不变，OQ-DE=3．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，一次函数上点的坐标特征，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．