Question

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．
（3）过点O作QE⊥AO于点E，利用t表示出△APQ的面积，利用函数的性质即可求解．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意，得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以，直线AB的解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以

t

6

=

10-2t

10

，
解得t=

30

11

（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以

t

10

=

10-2t

6

，
解得t=

50

13

（秒）；
∴当t为

50

13

秒或

30

11

秒时，△APQ与△AOB相似；

（3）过点O作QE⊥AO于点E
∵sin∠BAO=

QE

AQ

=

OB

AB

=

4

5

∴QE=AQ•sin∠BAO=

4

5

（10-2t）=8-

8

5

t
∴S_△APQ=

1

2

AP•QE=

1

2

t（8-

8

5

t）=-

4

5

t2+4t=-

4

5

（t-

5

2

）2+5．
∴当t=

5

2

时，△APQ的面积最大，最大面积是5个平方单位．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．