Question

【题目】（知识生成）我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式.

例如：如图可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：

⑴ 根据如图，写出一个代数恒等式：

；

⑵ 利用⑴中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=12，，

则 ；

⑶ 小明同学用如图中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+3b)的长方形，则x＋y＋z= ；

（知识迁移）⑷ 类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．如图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据如图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式．

Answer 1

【答案】⑴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； ⑵ 90； ⑶ 12； ⑷ x3-4x=x(x-2)(x-2)．

【解析】

（1）依据正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）依据a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而(2a+b)(a+3b)= 2a2+6ab+3b2，即可得到x，y，z的值．
（4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．

（1）由图2得：正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c=12，ab+ac+bc=27，
∴122=a2+b2+c2+2×27，
∴a2+b2+c2=144-54=90，
故答案为：90；
（3）由题意得：(2a+b)(a+3b)=xa2+yb2+zab，
∴2a2+7ab+3b2=xa2+yb2+zab，

,

∴x+y+z=12，
故答案为：12；
（4）∵原几何体的体积=x3-2×2x=x3-4x，新几何体的体积=（x+2）（x-2）x，
∴x3-4x=（x+2）（x-2）x．
故答案为：x3-x=（x+2）（x-2）x．