Question

（本小题满分10分）
在图1至图3中，直线MN与线段AB相交
于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

小题1:（1）如图1，若AO = OB，请写出AO与BD
的数量关系和位置关系；
小题2:（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到
图2，其中AO = OB．
求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
小题3:（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到
图3，求的值．

Answer 1

小题1:（1）AO = BD，AO⊥BD；
小题2:（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
小题3:（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC，
∴△BOE ∽ △AOC．
∴．
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得BE = BD．∴．

略