题目内容
【题目】如图在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AB=2,CD=,∠D=30°.∠MON=60°,其顶点O在CD边上运动,并保持OM始终经过点B,设ON与AD边所在的直线交于点P,则当AP=______时,△OBC为等腰三角形.
【答案】
【解析】过点A作AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,则有四边形ABFE要矩形,∴EF=AB=2,AE=BF,∵AB//CD,AD=BC,∴△DAE≌△BCF,∴DE=CF,∠C=∠D=30°,∴∠DAB=∠ABC=150°,∵CD=2+4 ,∴DE=CF=2
,∴AD=BC=4;
有三种情况:
①如图1,当BO=CO时,此时∠OBC=∠C=30°,∴∠ABO=120°,∵∠MON=60°,∴∠ABO+∠MON=180°,∴AB//ON,∴点P与点D重合,∴AP=AD=4;
②如图2,当CO=CB=4时,DO=2+4-4=4
-2,∵∠C=30°,∴∠BOC=75°,∵∠MON=60°,∴∠NOD=45°,过点P作PH⊥DC,垂足为H,则有PH=OH,∵∠D=30°,∴DH=
PH,∴DO=DH+HO=
PH+PH=4
-2,∴PH=7-3
,∴PD=2PH=14-6
,∴AP=AD-PD=4-(14-6
)=6
-10;
③如图3,当BO=BC=4时,∠BOC=∠C=30°,∴∠OBC=120°,
∴OC=BC=4
,∴OD=4
+2-4
=2,又∵∠MON=60°,∴∠POD=90°,∵∠D=30°,∴PD=
=
,∴AP=AD-PD=4=
;
综上:AP的长为.

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