题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）存在满足条件的点E，其坐标为（2+
，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1），理由见解析
【解析】
（1）可设抛物线解析式为顶点式y=a(x-2)2-1（a≠0），把C点坐标代入上式，可求得a的值，进而求得抛物线解析式；
（2）根据题意可分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，当∠DFE＝90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点横坐标，代入直线BC解析式可求得E点坐标；当∠EDF＝90°时，可知：点F在直线AD上，求出直线AD解析式，联立直线AD和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标．
（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
把C（0，3）代入可得：a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
（2）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
由（1）可知抛物线的对称轴为：直线x＝2，此时y＝﹣2+3＝1，
∴D（2，1），
∴AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
由题意知EF∥y轴，则∠FED＝∠OCB≠90°，
∴△DEF为直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，
①当∠DFE＝90°时，即DF∥x轴，则D、F的纵坐标相同，如图1，
∴F点纵坐标为1，
∵点F在抛物线上，
∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±
，即点E的横坐标为2±，
∵点E在直线BC上，
∴当x＝2+时，y＝﹣x+3＝1﹣，
当x＝2﹣时，y＝﹣x+3＝1+，
∴E点坐标为（2+，1﹣）或（2﹣，1+）；
②当∠EDF＝90°时，且∠ADC＝90°，如图2，
∴点F在直线AD上，
∵A（1，0），D（2，1），
∴直线AD解析式为y＝x﹣1，
∴直线AD与抛物线的交点即为F点，
联立直线AD与抛物线解析式得：x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，
当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1，
∴E点坐标为（1，2）或（4，﹣1），
综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1）．
图1 图2
