Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，CD⊥AD．
（1）CD是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若AD=4，AB=9，求AC的长．
（3）若AD交⊙O于点E，连接OD交AC于点F，且

AE

ED

=

3

2

，求

OF

DF

的值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由于AC平分∠BAD，可得∠2=∠3，而OA=OC，易知∠1=∠3，等量代换可得∠1=∠2，进而可知OC∥AD，而CD⊥AD，那么OC⊥CD，从而可证CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，由于AB是⊙O的直径，CD⊥AD，易得∠ACB=∠ADC=90°，而∠2=∠3，易证△ADC∽△ACB，从而有AD：AC=AC：AB，易求AC；
（3）连接OC，BC，先设DE=2x，AE=3x，则AD=5x，根据切割线定理可得CD²=DE•AD，易求CD，再根据勾股定理可求AC，再根据相似三角形的性质可得AD：AC=AC：AB，可求AB，进而可得OC=3.5x，再根据平行线分线段成比例定理的推论可得△COF∽△ADF，于是OF：DF=OC：AD，易求OF：DF．

解答：解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
连接OC，如右图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AD，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠2=∠3，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴4：AC=AC：9，
∴AC=6；

（3）连接OC，BC，如右图，
设DE=2x，AE=3x，则AD=5x，
∵CD是切线，AD是割线，
∴CD²=DE•AD，
∴CD=

10

x，
∴AC=

AD2+CD2

=

35

x，
由（2）知△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴5x：

35

x=

35

x：AB，
∴AB=7x，
∴OC=3.5x，
由（1）知OC∥AD，
∴△COF∽△ADF，
∴OF：DF=OC：AD，
∴OF：DF=3.5x：5x=7：10．

点评：本题是圆的综合题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和平行线；并证明OC∥AD，以及△ADC∽△ACB．