题目内容
已知：如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， |
| AB |
|
| AF |
求证：（1）AE=BE；（2）AB2=BG•CF．
分析：（1）可证∠BAE=∠ABE．连接AC，则∠ABE=∠ACF=∠ACB，所以证∠BAD=∠ACB即可．有这两角都与∠ABD互余得证；
（2）即证AB：CF=BG：AB，因AB=AF，所以证AB：CF=BG：AF．证它们所在的△ABG、△AFC相似即可．
（2）即证AB：CF=BG：AB，因AB=AF，所以证AB：CF=BG：AF．证它们所在的△ABG、△AFC相似即可．
解答：
证明：（1）连接AC． （1分）
∵
=
，
∴∠ACB=∠ABF． （2分）
又∵∠ACB=90°-∠ABD=∠BAD，（3分）
∴∠BAE=∠ABE．
∴AE=BE． （4分）
（2）∵
=
，
∴∠GAB=∠ACF，（5分）
又∵∠ABG=∠CFA，（6分）
∴△ABG∽△CFA．
∴AB：BG=CF：AF． （8分）
又∵
=
，∴AB=AF．
∴
=
∴AB2=BG•CF． （9分）
证明：（1）连接AC． （1分）∵
|
| AB |
|
| AF |
∴∠ACB=∠ABF． （2分）
又∵∠ACB=90°-∠ABD=∠BAD，（3分）
∴∠BAE=∠ABE．
∴AE=BE． （4分）
（2）∵
|
| AB |
|
| AF |
∴∠GAB=∠ACF，（5分）
又∵∠ABG=∠CFA，（6分）
∴△ABG∽△CFA．
∴AB：BG=CF：AF． （8分）
又∵
|
| AB |
|
| AF |
∴
| AB |
| BG |
| CF |
| AB |
∴AB2=BG•CF． （9分）
点评：此题考查了圆的有关性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．证等积式常常先转换成比例式，确定它们所在的三角形并证明三角形相似．
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