Question

已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=

5

2

，CD=

5

2

，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）在△ABE与△DBC中，有∠ABE=∠DBC，∠BAE=∠BDC=90°，根据相似三角形的判定，它们相似；
（2）由△ABE∽△DBC，可知∠AEB=∠DCB，在Rt△DCB中，先由勾股定理求出BD的值，再根据正弦的定义求出sin∠DCB，得出sin∠AEB的值；
（3）求弦AB的长，sin∠AEB的值已求，求出BE的值即可，可以通过求BD、ED得出．

解答：（1）证明：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中点，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．

（2）解：在RT△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC=

5

2

，CD=

5

2

，
∴BD=

5

．
∴sin∠DCB=BD：BC=

2 5

5

．
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB=

2 5

5

．

（3）解：∵∠AEB=∠DEC，
∴sin∠DEC=

2 5

5

．
∴EC=1.25，DE=

5

4

，BD=

5

．
BE=BD-DE=

3 5

4

，AB=

3 5

4

×sin∠AEB=1.5．

点评：本题考查了相似三角形的判断，同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解三角函数的知识，本题是一道较难的题目．