题目内容

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-1，
3
），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
（4）若反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象有一动点Q，点Q与抛物线上的点A关于点M（1，t）成中心对称，当以线段AB为一直角边的△QAB为直角三角形时，请直接写出相应的反比例函数的解析式．
分析：（1）由点A的坐标可求得OA的长，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°后，恰好落在x轴上，由此得出B点的坐标．
（2）利用待定系数法求抛物线的解析式即可．
（3）过P作y轴的平行线交线段AB于D，首先求出直线AB的解析式，结合直线和抛物线的解析式先表达出P、D点的坐标，进而能得出线段PD的长，以PD为底，A、B横坐标差的绝对值为高即可求出△ABP的面积函数关系式，根据函数的性质进行判断即可．
（4）欲求反比例函数的解析式，必须先求出点Q的坐标；点Q、A关于M对称，那么点Q的横坐标必为3；已知线段AB为Rt△QAB的直角边，那么需要分两种情况讨论：
①BQ为直角边，即BQ⊥AB，那么这两天直线的斜率乘积为-1，即：kAB×kBQ=-1，结合点B的坐标即可求出直线BQ的解析式，进而能求出点Q的坐标以及反比例函数的解析式；
②AQ为直角边，解题方法和①完全相同．
解答：解：（1）∵A（-1，
3
），
∴OA=
(-1)2+(
3
)2
=2；
∵OA绕O顺时针旋转120°得OB，
∴OB=OA=2，且B在x轴正半轴上，
∴B（2，0）．

（2）由于抛物线过原点，可设其解析式为y=ax2+bx，代入A（-1，
3
）、B（2，0），得：
a-b=
3
4a+2b=0
，解得
a=
3
3
b=-
2
3
3

∴抛物线的解析式为y=
3
3
x2-
2
3
3
．

（3）设P（x，
3
3
x2-
2
3
3
）（0＜x＜2），过P作PD∥y轴交线段AB于D；
设直线AB：y=kx+b（k≠0），将A（-1，
3
）、B（2，0）代入，得：
-k+b=
3
2k+b=0
，解得
k=-
3
3
b=
2
3
3

∴直线AB：y=-
3
3
x+
2
3
3
，则点D的坐标（x，-
3
3
x+
2
3
3
）；
∴PD=（-
3
3
x+
2
3
3
）-（
3
3
x2-
2
3
3
）=-
3
3
x2+
3
3
x+
2
3
3
，
∴S△APB=
1
2
×（-
3
3
x2+
3
3
x+
2
3
3
）×3=-
3
2
x2+
3
2
x+
3
；
S是关于x的二次函数，且开口向下，对称轴x=
1
2
在0＜x＜2的范围内，因此当x=
1
2
时，△PAB的面积最大，且最大值为
9
3
8
；
此时P点的坐标（
1
2
，-
3
4
）．

（4）点Q与抛物线上的点A（-1，
3
）关于点M（1，t）成中心对称，所以点Q的横坐标必为3；
①BQ为Rt△QAB的直角边时，BQ⊥AB，即：kAB×kBQ=-1，解得：kBQ=
3
；
可设直线BQ：y=
3
x+b，代入B（2，0），得：b=-2
3
，
∴直线BQ：y=
3
x-2
3
，当x=3时，y=
3
，即 Q（3，
3
）；
将点Q的坐标代入反比例函数的解析式中，得：k1=xy=3
3
；
②AQ为Rt△AOB的直角边时，AQ⊥AB，同①可求得：k2=15
3
；
综上，符合条件的反比例函数解析式为：y=
3
3
x
或y=
15
3
x
．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、直角三角形的性质以及图形面积的求法等重要知识；最后一题中，互相垂直的两条直线斜率的乘积为-1，这个结论需要记住；这个小题也可以分别过A、Q作坐标轴的垂线，通过构建相似三角形来求点Q的坐标，不过这样的计算过程会稍微复杂一些．
练习册系列答案
相关题目
18、如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑦的直角顶点的坐标为
（24，0）
．
精英家教网如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′．
（1）在图中画出线段OP′；
（2）求P′的坐标和
PP′
的长度．
如图，在直角坐标系中，O为原点．反比例函数y=
6
x
的图象经过第一象限的点A，点A的纵坐标是横坐标的
3
2
倍．
（1）求点A的坐标；
（2）如果经过点A的一次函数图象与x轴的负半轴交于点B，AC⊥x轴于点C，若△ABC的面积为9，求这个一次函数的解析式．
（3）点D在反比例函数y=
6
x
的图象上，且点D在直线AC的右侧，作DE⊥x轴于点E，当△ABC与△CDE相似时，求点D的坐标．
如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（-4，6），C（0，2）．画出△ABC的两个位似图形△A1B1C1，△A2B2C2，同时满足下列两个条件：
（1）以原点O为位似中心；
（2）△A1B1C1，△A2B2C2与△ABC的面积比都是1：4．（作出图形，保留痕迹，标上相应字母）
如图，在直角坐标系中，已知点A（-4，0），B（0，3），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，

（1）△AOB的面积是
6
6
；
（2）三角形（2013）的直角顶点的坐标是
（8052，0）
（8052，0）
．

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