题目内容
如图所示,在△ABC中,PG为BC边的垂直平分线.且∠PBC=
∠A,BP的延长线交AC于点D,CP的延长线交AB于点E.求证:BE=CD.
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证明:证明:作BF⊥CE于F点,CM⊥BD于M点,
则∠PFB=∠PMC=90°.
∵PG是BC的垂直平分线,
∴PB=PC.
在△PBF和△PCM中,
,
∴△PBF≌△PCM(AAS),
∴BF=CM;
∵PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB=
∠BPE.
∵∠PBC=
∠A,
∴∠A=∠BPE.
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°,
∴∠AEP+∠ADP=180°.
又∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,
∴∠BEF=∠CDM.
在△BEF和△CDM中,
,
∴△BEF≌△CDM(AAS).
∴BE=CD.
则∠PFB=∠PMC=90°.
∵PG是BC的垂直平分线,
∴PB=PC.
在△PBF和△PCM中,
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∴△PBF≌△PCM(AAS),
∴BF=CM;
∵PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB=
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∵∠PBC=
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∴∠A=∠BPE.
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°,
∴∠AEP+∠ADP=180°.
又∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,
∴∠BEF=∠CDM.
在△BEF和△CDM中,
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∴△BEF≌△CDM(AAS).
∴BE=CD.
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