题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=α.（注：四边形的内角和是360°）
（1）若点P在线段AB上，如图11-2-13（1），且α=50°，则∠1+∠2= .
（2）若点P在边AB上运动，如图11-2-13（2），则α，∠1，∠2之间的关系为 .
（3）若点P运动到边AB的延长线上，图11-2-13（3），则α，∠1，∠2之间有何关系？请写出你的猜想，并说明理由.
（4）若点P运动到△ABC外，如图11-2-13（4），则α，∠1，∠2之间的关系为 .
【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α.理由见解析；（4）∠2=90°+∠1-α．
【解析】（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+α.
∵∠C=90°，α=50°，
∴∠1+∠2=140°.
（2）由（1）得α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α.
（3）∠1=90°+∠2+α.
理由如下：
如图D11-2-6（1），∵∠2+α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）如图D11-2-6（2），∵∠PFC=∠DFE，∴α+180°-∠1=∠C+180°-∠2，
∴∠2=90°+∠1-α．
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