题目内容
【题目】己知：正方形
．
如图
，点
、点
分别在边
和
上，且
．此时，线段
、
的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
如图
，等腰直角三角形
绕直角顶点
顺时针旋转
，当
时，连接、，此时中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
如图
，等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，当
时，连接、，猜想沟
与满足什么数量关系时，直线垂直平分．请直接写出结论．
如图
，等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，当
时，连接
、
、
、
得到四边形
，则顺次连接四边形各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．
【答案】
且
；
详见解析；
；
正方形．
【解析】
（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根据旋转角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，延长DF交BE于O，求出∠ABE+∠BGO=90°，从而得到∠BOD=90°，根据垂直的定义得到BE⊥DF；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，
解答出即可；
（4）如图4，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状
(1)在正方形ABCD中,AB=AD,
，
∵AE=AF，
∴ABAE=ADAF，
即BE=DF，
∵
∴BE⊥DF，
故答案为BE=DF，BE⊥DF；
(2)成立；
理由：如图②，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
延长DF交BE于O，
∵
,∠AGF=∠BGO(对顶角相等)，
∴
∴
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
(3)如图③，
连接BD，
∵直线DF垂直平分BE，
∴AD+AE=BD,
∴
故答案为
(4)如图④，
连接BE、DF，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
设DF交BE于点P，
∵
,∠DYA=∠BYP(对顶角相等)，
∴
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
∴顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形.
故答案为:正方形.
