Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．

Answer 1

【答案】（1）m＞﹣2；（2）实数m的值为1．

【解析】分析：

（1）根据“一元二次方程中，当根的判别式△=时，方程有两个不相等的实数根”列出不等式进行解答即可；

（2）根据“一元二次方程根与系数的关系”可得，将所得等式代入x12+x22=22+x1x2中得到关于m的方程，并结合（1）中所得m的取值范围即可求得m的值.

详解：

（1）由题意可得：在关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0中，

△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，

∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根时，

∴△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；

（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，

得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，

∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，

∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），

化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），

∴实数m的值为1．