Question

如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．
（1）试猜想线段AE和BD之间的关系，并说明理由；
（2）若AC=3，BC=，∠ACB=135°．
①求CG：CE的值；②求AB的长．

Answer 1

解：（1）猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，
∠CAE=∠CDB；
∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
故线段AE和BD的数量是相等，位置是垂直关系．

（2）①∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB=135°，
∴∠DCE=45°，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，AC=3，BC=，
∴∠BEC=45°，CD=AC=3，BE=BC=2，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，
∴△CDG∽△EBG，
∴=，
∴CG：CE=3：5；
②过点B作BK⊥AC，交AC的延长线于点K，
∵∠ACB=135°，
∴∠BCK=45°，
∴CK=BK=BC•sin45°=×=1，
∴AK=AC+CK=3+1=4，
在Rt△ABK中，AB==．
分析：（1）由于条件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因为对顶角相∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．
（2）①由∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB=135°，可求得∠DCE=45°，又由△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，易证得CD∥BE，则可证得△CDG∽△EBG，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CG：CE的值；
②过点B作BK⊥AC，交AC的延长线于点K，由∠ACB=135°，即可得△BCK是等腰直角三角形，则可求得BK与CK的长，然后由勾股定理求得AB的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．