Question

如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC ．

（１）求证：PA为⊙O 的切线；
（２）若OB=5，OP=，求AC的长．

Answer 1

解：（１）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90⁰。
∵OP∥BC，∴∠B=∠AOP。
又∠P=∠BAC ，∴△ABC∽△POA，∴∠PAO=∠ACB=90⁰。
∴PA为⊙O 的切线。
（２）∵OB=5，AB是⊙O的直径，∴OA=5，AB=2OB=10。
由（１）知，△ABC∽△POA，∴。
又∵OP=，∴。
在Rt△ACB中，。
∴AC的长为8。

（1）要证PA为⊙O 的切线只要证∠PAO =90⁰，通过直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90⁰，从而由△ABC∽△POA即可得证。
（2）同（1）△ABC∽△POA，利用相似比求得BC的长即可由勾股定理求得AC的长。