Question

【题目】我们约定：对角线相等的四边形称之为：“等线四边形”。

（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等线四边形”的是___________________；

②如图1，若四边形是“等线四边形”， 分别是边的中点，依次连接，得到四边形，请判断四边形的形状：______________________；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，以为直径作圆，该圆与轴的正半轴交于点，若为坐标系中一动点，且四边形为“等线四边形”。当的长度最短时，求经过三点的抛物线的解析式；

（3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形是“等线四边形”， 在轴的负半轴上，在轴的负半轴上，且。点分别是一次函数与轴，轴的交点，动点从点开始沿轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为秒，以点为圆心，半径，单位长度作圆，问：①当与直线初次相切时，求此时运动的时间；②当运动的时间满足且时，与直线相交于，求弦长的最大值。

Answer 1

【答案】（1）①矩形，正方形；②菱形；（2）；（3）①；②当时，有最大值

【解析】

（1）①依据矩形，正方形的性质即可得出结论；②根据三角形中位线定理，菱形的判定定理可知它一定是菱形；

（2）连接CP，与圆相交于一点，当点Q在直线PC上时，PQ的长度为最短；利用勾股定理先求出C点坐标，再求出直线PC的方程，从而算出点Q的坐标，然后得到抛物线的解析式；

（3）根据题意可知点B、C坐标，设出点A、D坐标，由AD=，课求得A、D坐标，然后求得点P的坐标，再分别讨论BC与圆P的关系，从而求出时间；再求出弦MN的长度的最大值.

解：（1）①在我们学习过的四边形中，矩形和正方形属于等对角线四边形；

故答案为；矩形，正方形.

②如图，四边形ABCD是等线四边形，E、F、G、H分别是各边中点，

∵E、F、G、H分别是各边中点，

∴EF=GH=，EH=FG=，

∵AC=BD

∴EF=GH=EH=FG，

∴四边形EFGH是菱形.

（2）如图，连接CP与圆E相交于一点，连接CE，

∵A(-2，0)，B（8,0）

∴圆心坐标为，，

∴中，

∴点坐标为，

∴直线解析式为，

∴圆心E（3,0）刚好在PC上.

当点在线段上时最小，此时点Q在第四象限，

∴，

解得：

点坐标为，

∴设过抛物线为则

，

∴；

（3）依题，如图

由直线方程令x=0，y=0可得，坐标分别为，

设点坐标为，

∵AC=BD，

∴点坐标为，

∴中，，

∴（舍去），，

∴点坐标分别为，

∴点坐标为；

①∴当与初次相切时，

∴；

②当时，逐渐增大，

当时，，此时，

当时，，过作于点，

则

∴

∴当时，有最大值。