题目内容
【题目】如图(1)所示:等边△ABC中,线段AD为其内角角平分线,过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
(1)请你探究: ,
是否都成立?
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问一定成立吗?并证明你的判断.
(3)如图(2)所示Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=8,AB= ,DE∥AC交AB于点E,试求
的值.
【答案】(1)成立(2)成立(3)
【解析】分析: (1)根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,则DB=CD,易得;由于∠C1AB1=60°,得∠B1=30°,则AB1=2AC1,同理可得到DB1=2DC1,易得
;
(2)过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD,则BE=AB,并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD,得到,而BE=AB,于是有
,这实际是三角形的角平分线定理;
(3)AD为△ABC的内角角平分线,由(2)的结论,根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF,利用相似三角形的性质解答即可.
详解:
(1)等边△ABC中,线段AD为其内角角平分线,所以=1,
因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1,所以∠CAB=60°,∠B1=∠CAD=∠BAD=30°,所以AD=B1D,所以.这两个等式都成立;
(2)可以判断结论仍然成立,证明如下:
如图所示,△ABC为任意三角形,过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,
∵∠E=∠CAD=∠BAD,∴BE=AB,又∵△EBD∽△ACD
∴,
又∵BE=AB.
∴即对任意三角形结论仍然成立;
﹙3﹚如图(2)所示,因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=,所以AB=
.
∵AD为△ABC的内角角平分线,
∴,
∵DE∥AC,
∴△DEF∽△ACF,
∴.
点睛: 本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形一边的直线被其它两边所截,所截得的三角形与原三角形相似;相似三角形对应边的比相等.也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质.

【题目】在大课间活动中,体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试,并对成绩进行统计分析,绘制了频数分布表和统计图,请你根据图表中的信息完成下列问题:
分 组 | 频数 | 频率 |
第一组(0≤x<15) | 3 | 0.15 |
第二组(15≤x<30) | 6 | a |
第三组(30≤x<45) | 7 | 0.35 |
第四组(45≤x<60) | b | 0.20 |
(1)频数分布表中a=_____,b=_____,并将统计图补充完整;
(2)如果该校七年级共有女生180人,估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人?
(3)已知第一组中只有一个甲班学生,第四组中只有一个乙班学生,老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会,则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少?