题目内容

【题目】如图(1)所示:等边ABC中,线段AD为其内角角平分线,过D点的直线B1C1ACC1AB的延长线于B1

(1)请你探究:是否都成立?

(2)请你继续探究:若ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问一定成立吗?并证明你的判断.

(3)如图(2)所示RtABC中,∠ACB=90,AC=8,AB= ,DEACAB于点E,试求的值.

【答案】(1)成立(2)成立(3)

【解析】分析: (1)根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,则DB=CD,易得;由于∠C1AB1=60°,得∠B1=30°,则AB1=2AC1,同理可得到DB1=2DC1,易得

(2)过B点作BE∥ACAD的延长线于E点,根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD,则BE=AB,并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD,得到,而BE=AB,于是有,这实际是三角形的角平分线定理;

(3)AD为△ABC的内角角平分线,由(2)的结论,根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF,利用相似三角形的性质解答即可.

详解:

(1)等边ABC中,线段AD为其内角角平分线,所以=1,

因为B1C1ACC1AB的延长线于B1,所以∠CAB=60°,B1=CAD=BAD=30°,所以AD=B1D,所以.这两个等式都成立;

(2)可以判断结论仍然成立,证明如下:

如图所示,ABC为任意三角形,过B点作BEACAD的延长线于E点,

∵∠E=CAD=BAD,BE=AB,又∵△EBD∽△ACD

又∵BE=AB.

即对任意三角形结论仍然成立;

﹙3﹚如图(2)所示,因为RtABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=,所以AB=

ADABC的内角角平分线,

DEAC,

∴△DEF∽△ACF,

.

点睛: 本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形一边的直线被其它两边所截,所截得的三角形与原三角形相似;相似三角形对应边的比相等.也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质.

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