Question

已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：BE=CD；
（2）求证：△AMN是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AF为公共边，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD；
（2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由三角形ABE与三角形ACD全等，得到对应边AE=AD，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出三角形AME与三角形AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即三角形AMN为等腰三角形．

解答：证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD；

（2）∵M、N分别为BE、CD的中点，且BE=CD，
∴ME=ND，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEM=∠ADC，AE=AD，
在△AEM和△ADN中，

ME=ND ∠AEM=∠ADN AE=AD

，
∴△AEM≌△ADN（SAS），
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．