Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．
（2）①求证：抛物线l经过点C．
②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．
（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=1，

∴A（1，0）．

又∵tan∠BAO= =3，

∴OB=3．

∴B（0，3）．

将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=3．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的顶点G的坐标为（﹣1，4）

（2）

解：①证明：由旋转的性质可知；OC=OB=3，

∴C（﹣3，0）．

当x=﹣3时，y=﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3=﹣9+6+3=0，

∴点抛物线l经过点C．

②如图1所示；过点G作GE⊥y轴．

∵GE⊥y轴，G（﹣1，4），

∴GE=1，OE=4．

∴S梯形GEOC= （GE+OC）OE= ×（1+3）×4=8．

∵由旋转的性质可知；OD=OA=1，

∴DE=3．

∴S△OCD= OCOD= ×3×1= ，S△GED= EGED= ×1×3= ．

∴S△CDG=S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED=8﹣ ﹣ =5

（3）

解：如图2所示：过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．

∵PG∥CD，

∴△PCD的面积=△GCD的面积．

∵OD=OA=1，

∴D（0，1）．

设直线CD的解析式为y=kx+b．

∵将点C（﹣3，0）、D（0，1）代入得： ，解得：k= ，b=1，

∴直线CD的解析式为y= +1．

∵PG∥CD，

∴直线PG的一次项系数为 ．

设PG的解析式为y= x+b1．

∵将点G的坐标代入得： +b1=4，解得：b1= ，

∴直线PG的解析式为y= + ．

∵将y= + 与y=﹣x2﹣2x+3联立．解得： ， ，

∴P（﹣ ， ）

【解析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，最后依据配方法可求得点G的坐标（2）由旋转的性质可求得点D和点C的坐标，将点C的横坐标代入抛物线的解析式求得y=0，从而可证明点抛物线l经过点C；如图1所示；过点G作GE⊥y轴，分别求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面积，最后依据S△CDG=S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED求解即可；（3）如图2所示：过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．先求得直线CD的解析式，然后可得到直线PG的一次项系数，然后由点G的坐标可求得PG的解析式，最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立，最后解得点P的坐标即可．