题目内容

已知二次函数y=x²+ax+a-2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 $数学公式$ 时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为 $数学公式$ ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）因为△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4＞0，
所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．

（2）设x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的两个根，则x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，因两交点的距离是 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
即：（x₁-x₂）²=13
变形为：（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=13
即（-a）²-4（a-2）=13
整理得：（a-5）（a+1）=0
解方程得：a=5或-1
又∵a＜0
∴a=-1
∴此二次函数的解析式为y=x²-x-3．

（3）设点P的坐标为（x₀，y₀），
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于 $\text{[math]}$ ，
∴AB= $\text{[math]}$
∴S_△PAB= $\text{[math]}$ AB•|y₀|= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即：|y₀|=3，则y₀=±3
当y₀=3时，x₀²-x₀-3=3，即（x₀-3）（x₀+2）=0
解此方程得：x₀=-2或3
当y₀=-3时，x₀²-x₀-3=-3，即x₀（x₀-1）=0
解此方程得：x₀=0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．
分析：（1）由判别式△=b²-4ac可证明a为任一实数．
（2）先求出两根之和及两根之积的值，再利用两点距离公式求解．
（3）利用第2小题中两个交点的距离为 $\text{[math]}$ 来进行计算．
点评：要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x₁-x₂|，并熟练运用．