Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点H在⊙O上，E是 的中点，过点E作EC⊥AH，交AH的延长线于点C．连接AE，过点E作EF⊥AB于点F．

（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若FB=2，tan∠CAE= ，求OF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OE，

∵点E为弧HB的中点，

∴∠1=∠2，

∵OE=OA，

∴∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴OE∥AC，

∵AC⊥CE，

∴OE⊥CE，

∵点E在⊙O上，

∴CE是⊙O的切线

（2）

解：连接EB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵EF⊥AB于点F，

∴∠AFE=∠EFB=90°，

∴∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°，

∴∠2=∠4=∠1．

∵tan∠CAE= ，

∴tan∠4= ，

在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2，tan∠4= ，

∴EF= ，

在Rt△AEF中，tan∠2= ，EF=2 ，

∴AF=4，

∴AB=AF+EF=6，

∴OB=3，

∴OF=OB﹣BF=1．

【解析】（1）连接OE，由于点E为弧HB的中点，根据圆周角定理可知∠1=∠2，而OA=OE，那么∠3=∠2，于是∠1=∠3，根据平行线的判定可知OE∥AC，而AC⊥CE，根据平行线的性质易知∠OEC=90°，即OE⊥CE，根据切线的判定可知CE是⊙O的切线；（2）由于AB是直径，那么∠AEB=90°，而EF⊥AB，易知∠1=∠2=∠4，那么tan∠1=tan∠2=tan∠4= ，在Rt△EFB中，利用正切可求EF，同理在Rt△AEF中，也可求AF，那么直径AB=6，从而可知半径OB=3，进而可求OF．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的判定与性质(由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．