Question

【题目】学生小明将线段的垂直平分线上的点，称作线段的“轴点”.其中，当时，称为线段的“长轴点”；当时，称为线段的“短轴点”.

（1）如图1，点，的坐标分别为，，则在，，，中线段的“短轴点”是______.

（2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，且.

①若为线段的“长轴点”，则点的横坐标的取值范围是（ ）

A. B. C. D.或

②点为轴上的动点，点，在线段的垂直平分线的同侧.若为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①D；② .

【解析】

（1）先排除点,再分别表示角的正切值，根据特殊角的正切值，得出三个角的范围即可得出答案；

（2）①根据已知求出AB的长，作线段AB 的垂直平分线，并分别求出t=0,及t=3时，角的度数，从而得出点P为AB的长轴点时t的范围；

②根据题意，得出当点与点重合，为与直线的交点时，最小.再根据OA=3列方程即可得出答案.

解：（1）

点P在线段AB的垂直平分线l上

不是线段AB的“轴点”

,,

，,

,，

点为线段AB的“短轴点”，点为线段AB的“短轴点”，点为线段AB的“长轴点”.

故答案为：，.

（2）①D

直线AB函数：

作线段AB的垂直平分线l，与AB交与点M，作交直线l与点，此时点P横坐标为3，直线l与y轴的交点为点P横坐标为0的情况.连接 ,.

同理可知，

当或时，点P为线段AB的“长轴点”

故选D.

②根据题意，点在线段的垂直平分线上.

点，在直线的同侧时，

对于满足题意的点的每一个位置，都有.

∵，，

∴当点与点重合，为与直线的交点时，最小.

如图，∵，，

∴.

∴.

在中，设，则.

∴.解得x=1.

∴.

综上，当线段与的和最小时，点的坐标为.