题目内容
【题目】如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：
①∠BAD＝2∠F；②∠E+∠F＝90°
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
解：（1）AD∥BC．理由如下：
∵∠ADE+∠ADF＝180°，（平角的定义）
∠ADE+∠BCF＝180°，（已知）
∴∠ADF＝∠________，（________）
∴AD∥BC
（2）AB与EF的位置关系是：________．
∵BE平分∠ABC，（已知）
∴∠ABE＝
∠ABC．（角平分线的定义）
又∵∠ABC＝2∠E，（已知），
即∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠________．（________）
∴________∥________．（________）
【答案】（1）BCF，同角的补角相等；（2）AB∥EF，ABE，等量代换，AB，EF，内错角相等，两直线平行；（3）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
（1）欲证明AD∥BC，只要证明∠ADF=∠BCF即可；
（2）结论：AB∥EF，只要证明∠E=∠ABE 即可；
（3）①根据平行线的性质以及角平分线的定义即可证明；
②只要证明∠OAB+∠OBA=90°即可解决问题；
（1）解：结论：AD∥BC．理由如下：
∵∠ADE+∠ADF＝180°，（平角的定义）
∠ADE+∠BCF＝180°，（已知）
∴∠ADF＝∠BCF，（同角的补角相等 ）
∴AD∥BC
（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF，
∵BE平分∠ABC，（已知）
∴∠ABE＝
∠ABC．（角平分线的定义）
又∵∠ABC＝2∠E，（已知），
即∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠ABE．（等量代换）
∴AB∥EF．（内错角相等，两直线平行 ）
故答案为BCF，同角的补角相等，AB∥EF，ABE，等量代换，AB，EF，内错角相等，两直线平行．
（3）证明：①∵AB∥EF，
∴∠BAF＝∠F，
∵∠BAD＝2∠BAF，
∴∠BAD＝2∠F．
②∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵∠OAB＝DAB，∠OBA＝∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠E+∠F＝90°．
