Question

（本题满分10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．
（1）求证：D是 弧AE 的中点；
（2）求证：∠DAO =∠B+∠BAD；
（3）若 ，且AC=4，求CF的长.

 

Answer 1

（本题满分10分）
证明：（1）∵AC是⊙O的直径
∴AE⊥BC   …………1分
∵OD∥BC
∴AE⊥OD    …………2分
∴D是的中点   …………3分
（2）方法一：
如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC  …4分
∴∠AGD=∠B
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD  …………5分
又∵OA=OD
∴∠DAO=∠ADO
∴∠DAO=∠B+∠BAD   …………6分
方法二：
如图，延长AD交BC于H  …4分
则∠ADO=∠AHC
∵∠AHC=∠B+∠BAD   …………5分
∴∠ADO=∠B+∠BAD
又∵OA=OD
∴∠DAO=∠B+∠BAD  …………6分
（3） ∵AO=OC   ∴
∵ ∴ …………7分
∵∠ACD=∠FCE    ∠ADC=∠FEC=90°
∴△ACD∽△FCE    …………………8分
∴  即:    …………9分
∴CF="2         " …………10分

解析