Question

如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE．
（1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果EF=3cm，求CF的长．

Answer 1

解：（1）FD与⊙O相切．
理由：连接OD；
∵FE=FD，
∴∠FED=∠FDE；
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OEA+∠OAE=90°，∠FED=∠AEO，
∴∠ODE+∠FDE=90°，
∴FD与⊙O相切．

（2）∵FD=EF，
∴∠FED=∠FDE，
∵∠C+∠CED=90°，∠CDF+∠FDE=90°，
∴∠C=∠CDF，
∴FC=DF，
∴CF的长为3cm．
分析：（1）连接圆心和切点，利用OC⊥AB可证得∠ODF=90°，从而得到其位置关系；
（2）利用FD=EF得出∠FED=∠FDE，由∠C+∠CED=90°，∠CDF+∠FDE=90°，即可得出∠C=∠CDF，则FC=DF，得出答案即可．
点评：此题主要考查了切线的判定和等角对等边以及互余等知识，求直线和圆的位置关系，首先要猜想是相切，那么应连接圆心和切点，证半径和直线所夹的角是90°．