题目内容
如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,D为BC的中点,△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点,过A作DF的垂线交DF的延长线于点E.
(1)试判断AE与⊙O的位置关系;
(2)若斜边BC=12,求AC•AF的值.
(1)试判断AE与⊙O的位置关系;
(2)若斜边BC=12,求AC•AF的值.
(1)AE与⊙O相切.
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,D是BC的中点,
∴∠ABD=60°,AD=BD=DC.
∴△ABD为等边三角形.
∴O点是△ABD的中心.
连接OA、OB,∠BAO=∠OAD=30°,∠OAC=60°.
又四边形ABDF内接于圆O,∠BAC=90°,
∴BF是⊙O的直径,即B、O、F三点共线,
∴∠BDF=∠FDC=∠BAC=90°.
∵AE⊥DE,
∴AE∥BC.
∴∠EAF=∠C=30°.
∴∠OAE=90°.
∴AE是⊙O的切线;
(2)由(1)知:△ABD为等边三角形,
∴∠ADB=60°.
∴∠ADF=∠C=30°,
∴∠FAD=∠DAC,
∴△ADF∽△ACD,
∴
=
.
∴AD2=AC•AF.
又AD=
BC=6,
∴AC•AF=36.
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,D是BC的中点,
∴∠ABD=60°,AD=BD=DC.
∴△ABD为等边三角形.
∴O点是△ABD的中心.
连接OA、OB,∠BAO=∠OAD=30°,∠OAC=60°.
又四边形ABDF内接于圆O,∠BAC=90°,
∴BF是⊙O的直径,即B、O、F三点共线,
∴∠BDF=∠FDC=∠BAC=90°.
∵AE⊥DE,
∴AE∥BC.
∴∠EAF=∠C=30°.
∴∠OAE=90°.
∴AE是⊙O的切线;
(2)由(1)知:△ABD为等边三角形,
∴∠ADB=60°.
∴∠ADF=∠C=30°,
∴∠FAD=∠DAC,
∴△ADF∽△ACD,
∴
AD |
AC |
AF |
AD |
∴AD2=AC•AF.
又AD=
1 |
2 |
∴AC•AF=36.
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