题目内容
【题目】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y = x+1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y = ；
（2）证明点（－m，2m－1）不在（1）中所求的二次函数图象上；
（3）若C为线段AB的中点，过点C做CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图象交于D．
①y轴上存在点K，使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是 ．
②二次函数的图象上是否存在点P，使得三角形 S△ POE＝2S△ABD？若存在，求出P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝
x2－x＋1；（2）证明见解析；（3）①K（0，5）或（0，－3），②存在点P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD．
【解析】
（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，根据根的判别式进行判定．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，
①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．
②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S△ POE＝2S△ABD，设P（x，x2-x+1），由题意可以解出x．
解：（1）y＝x2－x＋1（y＝（x－2）2）；
（2）证明：设点（―m，2m―1）在二次函数y＝x2－x＋1的图象上
则有：2m―1＝m2＋m＋1 ，
整理得m2―4m＋8＝0 ．
∵△＝（－4）2－4×8＝－16＜0 ，
∴原方程无实根 ，
∴点（―m，2m―1）不在二次函数y＝x2－x＋1的图象上 ．
（3）①K（0，5）或（0，－3）
②二次函数的图象上存在点P，使得S△POE＝2S△ABD
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE＝EF，由y＝x2－x＋1和y＝x＋1可求得点B（8，9）．
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），∴AD∥x轴 ．
∴S△ABD ＝2S△ACD ＝2×
×4×4＝16 ．
设P（x，x2－x＋1），由题意有：
S△POE ＝
×4（x2－x＋1）＝x2－2x＋2 ．
∵S△POE＝2S△ABD，∴x2－2x＋2＝32，
解得x＝－6或x＝10 ．
当x＝－6时，y＝×（－6）2－（－6）＋1＝16．
当x＝10时，y＝×102－10＋1＝16．
∴存在点P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD．
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