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精英家教网如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,点P在边BC上,若△ABP与△DCP相似.则△APD一定是(  )
A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形或直角三角形
分析:根据题意△ABP与△DCP相似,分两种情况讨论,①当
AB
PC
=
BP
CD
时,②当
AB
CD
=
BP
PC
时,代入数值,即可解答出;
解答:精英家教网解:∵△ABP与△DCP相似,
∴①当
AB
PC
=
BP
CD
时,
∵AB=4,AD=10,
4
10-BP
=
BP
4

解得,BP=2或BP=8;
当BP=2时,AP=2
5
,PD=4
5

∴AP2+PD2=AD2
当BP=8时,AP=4
5
,PD=2
5

∴AP2+PD2=AD2
综上,△APD是直角三角形;
∴②当
AB
CD
=
BP
PC
时,
∴BP=PC=5,
∴AP=PD=
41

∴AP2+PD2≠AD2
∴△APD是等腰三角形.
故选D.
点评:本题主要考查了矩形的性质及相似三角形的性质,注意根据已知,分类讨论相似的条件,体现了分类讨论思想.
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