题目内容

如图,以线段BC为一边在BC的同侧作Rt△BCD、Rt△BCE,过D作线段DA∥BC,交BE延长线于A,设BD、CE交于点F,取BC的中点G,连接EG、AF,且∠DCB=45°,CD=2.
(1)求EG的长.
(2)CF、AB、AF之间有何数量关系?请说明理由.
分析:(1)根据BD⊥CD,∠DCB=45°,得到∠DBC=∠DCB,求出BD=CD=2,根据勾股定理求出BC=2
2
,根据CE⊥BE,点G为BC的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EG;
(2)在线段CF上截取CH=BA,连接DH,根据BD⊥CD,BE⊥CD,推出∠EBF=∠DCF,证出△ABD≌△HCD,得到CD=BD,∠ADB=∠HDC,根据AD∥BC,得到∠ADB=∠DBC=45°,推出∠ADB=∠HDB,证出△ADF≌△HDF,即可得到答案.
解答:解:(1)∵BD⊥CD,∠DCB=45°,
∴∠DBC=45°=∠DCB,
∴BD=CD=2,在Rt△BDC中BC=
BD2+CD2
=2
2

∵Rt△BCE中,∠BEC=90°,
∵点G为BC的中点,
∴EG=
1
2
BC=
2

故EG的长是
2


(2)CF=AB+AF.理由如下:
在线段CF上截取CH=BA,连接DH.
∵BD⊥CD,BE⊥CE,
∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠DCF,
∵DB=CD,BA=CH,
∴△ABD≌△HCD,
∴AD=DH,∠ADF=∠HDC,
∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠DBC=45°,
∴∠HDC=45°,
∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°,
∴∠ADF=∠HDF,
∵AD=HD,DF=DF,
∴△ADF≌△HDF,
∴AF=HF,
∴CF=CH+HF=AB+AF,
∴CF=AB+AF.
点评:本题主要考查全等三角形的性质和判定,梯形、平行线、直角三角形斜边上的中线的性质,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用性质进行推理是解此题的关键.
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