Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的点，PA切于⊙O于点A,PA=PC,∠BAC=30°，

（1）求证：PC是⊙O的切线;
（2）若⊙O的半径为1，求PC的长（结果保留根号）.

Answer 1

（1）证明见解析;（2）．

试题分析：（1）连接PO，OC，根据SSS证△PAO≌△PCO，推出∠PCO=∠PAO=90°，根据切线的判定推出即可;
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=．
试题解析：（1）如图,连接OC、OP，
∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°.
在△PAO和△PCO中, OA＝OC, OP＝OP, PA＝PC,
∴△PAO≌△PCO（SSS）. ∴∠PCO=∠PAO=90°.
∵OC为半径，∴PC是⊙O的切线．

（2）如图，连接BC，
∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=.
∵∠PAC=90°-30°=60°，PA=PC，∴△PAC是等边三角形. ∴PA=AC=.
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