Question

【题目】如图，己知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）当t＝2.5时，PQ＝　 　；

（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；

（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）存在．当t＝，t＝，t＝3.4时，△PQC为等腰三角形．

【解析】

（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，求出QE，PE，利用勾股定理即可解决问题．
（2）由三角形的面积公式即可求得；
（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况①当CQ=CP时，②当PQ=CQ时，③当PQ=PC时，列方程求解即可．

（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵t＝2.5，

∴AQ＝5，AP＝2.5，

∴QE∥BC，

,

,

∴QE＝3，AE＝4，

∴PE＝4﹣2.5＝1.5，

∴PQ＝，

故答案为：．

（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积＝S△AQP，

当Q在AB边上时，S＝，（0＜t≤5）

当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积＝S四边形ABQP，

∴S四边形ABQP＝S△ABC﹣S△PQC＝×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）＝﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式是：

S＝ ．

（3）存在．

当点Q在AB边上时，如图2，连接CQ，PQ，

由（1）知QE＝t，CE＝AC﹣AE＝8﹣t，PQ＝t，

∴CQ＝，

①当CQ＝CP时，

即：，

解得；t＝，

②当PQ＝CQ时，

即：，

解得：t＝或8（不合题意舍去），

③当PQ＝PC时，

即：t＝8﹣t，

解得：t≈3.4；

当点Q在BC边上时，

∵∠ACB＝90°，

∴△PQC是等腰直角三角形，

∴CQ＝CP，

∴8﹣t＝16﹣2t，

∴t＝8，∴P，Q，C重合，不合题意，

综上所述：当t＝，t＝，t＝3.4时，△PQC为等腰三角形．