Question

已知：如图，四边形ABCD是关于坐标原点中心对称的四边形，其中点A（1，3），B（3，1），反比例函数=

k

x

经过点A．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）设直线y=ax+b经过C、D两点，在原有坐标系中画出并利用函数的图象，直接写出不等式

k

x

＜ax+b的解集为：

x＜-3或-1＜x＜0

．

Answer 1

分析：（1）把点A坐标代入y=

k

x

可求出k，从而得到反比例函数解析式；
（2）利用中心对称得性质确定C点坐标为（-1，-3），D点坐标为（-3，-1），则可判断C（-1，-3）、D（-3，-1）都在反比例函数y=

3

x

得图象上，然后观察函数图象得到当x＜-3或-1＜x＜0时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，由此可得到不等式

k

x

＜ax+b的解集．

解答：解：（1）把A（1，3）代入y=

k

x

得k=1×3=3，
故反比例函数的解析式为y=

3

x

；

（2）∵四边形ABCD是关于坐标原点中心对称的四边形，
∴C点坐标为（-1，-3），D点坐标为（-3，-1），
∵-1×（-3）=3，-3×（-1）=3，
∴C（-1，-3）、D（-3，-1）都在反比例函数y=

3

x

得图象上，
∴C（-1，-3）、D（-3，-1）为直线y=ax+b与双曲线y=

3

x

的交点，
∴当x＜-3或-1＜x＜0时，

k

x

＜ax+b．
故答案为x＜-3或-1＜x＜0．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，即求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．