Question

【题目】如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空： ①当DP=cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=cm时，四边形AOBP是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OA，AC

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，

在Rt△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，

∴∠ACP=30°，

∵∠APO=30°

∴∠ACP=∠APO，

∴AC=AP，

∴△ACP是等腰三角形

（2）1；
【解析】解：（2） ①DP=1，理由如下：
∵四边形AOBD是菱形，
∴OA=AD=OD，
∴∠AOP=60°，
∴OP=2OA，DP=OD．
∴DP=1，
②DP= ，理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，
∴∠AOP=45°，
∵OA=PA=1，OP= ，
∴DP=OP﹣1
∴DP= ．
（1）利用切线的性质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求得．（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．②要使四边形AOBP是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP= ，所以DP=OP﹣1．